デルタ法 - お金と数字と温泉を考えるブログ

$W$ は自由度mのχ二乗分布に従う。そのとき $W$ と $\sqrt{W}$ の期待値と分散を求めよ。

$W$ の期待値と分散は $E(W)$ = $m$ , $V(W)$ = $2m$ な訳ですが、
χ二乗分布の確率密度関数を用いて $\sqrt{W}$ の期待値・分散を求めるのは面食らいます。
(というか普通に計算できる自信がありません)
このように、複雑な確率密度関数の期待値・分散を求める際に役立つのがデルタ法です。

流れとしては、確率密度関数をTaylor展開して近似し、それを使って期待値・分散を求めます。

$x=a$ 周りでのTaylor展開は下記のように表すことができます。
$\displaystyle f(x)= f(a)+\frac{f'(a)(x-a)}{1!}+\frac{f''(a)(x-a)^2}{2!}+・・・$
今回1次の近似だけを用いることとし、これを $x=μ$ 周りで両辺に期待値・分散を取れば、
$\displaystyle E(f(x))= f(μ)+\frac{f'(a)E(x-μ)}{1!}=f(μ)$
$\displaystyle V(f(x))= \frac{(f'(μ))^2}{(1!)^2}V(x)$
これを用いれば、
$\displaystyle E(\sqrt{W})=\sqrt{m}$
$\displaystyle V(\sqrt{W})=\frac{1}{2}$
と求まります。尤も、初見で解ききれる自信は無いですね。
この例題集はほかにもブラウン運動やベイズのギブス・サンプリング法など幅広く(幅広すぎではないか？)
出題されており、とにかくカバーしないといけない範囲が膨大です。
後2か月ですが、取れる問題を落とさずに進めていきます。