『確率思考の戦略論』『ブランディングの科学』の世界をRで体感する (1)補論(NBDモデルの導出方法)

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前回の記事で、『確率思考の戦略論』および『ブランディングの科学』に記載してある例をNBDモデルを用いて再現しました。
umejiro330.hatenablog.com
ただ、NBDモデルの式は記載していたのですが、その導出方法について記載していなかったので、補論としてまとめておきます。

負の二項分布からの導出

前回の記事で、NBDモデルは下記と記載いたしました。
$P_{r}=\frac{\Gamma(K+r)}{\Gamma(r+1) \Gamma(K)}\left(\frac{M}{M+r}\right)^{r}\left(\frac{K}{M+r}\right)^{K}$
この式を、負の二項分布の式から変形することで導出してみます。
まず、負の二項分布の式は下記の通りでした。
$P(X=k | r, p)=\left(\begin{array}{c}{r+k-1} \\ {k}\end{array}\right) p^{r} q^{k}, \quad k=0,1,2, \ldots$
${k=失敗回数}$
${r=成功回数}$
${p=成功する確率}$
${q=失敗する確率}$
負の二項分布は、r回成功するまでにk回失敗する確率を示しています。

ここで、 $\left(\begin{array}{c}{r+k-1} \\ {k}\end{array}\right)$ を変形して
$\left(\begin{array}{c}{r+k-1} \\ {k}\end{array}\right)=\frac{(r+k-1) !}{k !(r-1) !}$
また、
${\displaystyle　p=\frac {K}{M+K} ,k=r,r=K}$ を代入すると
$P_{r}=\frac{(K+r-1) !}{r !(K-1) !}\left(\frac{K}{M+K}\right)^{K}\left(\frac{M}{M+K}\right)^{r}$
と書け、さらに
$\Gamma(α+1)=α!$
であることを用いれば
$P_{r}=\frac{\Gamma(K+r)}{\Gamma(r+1)\Gamma(K)}\left(\frac{K}{M+K}\right)^{K}\left(\frac{M}{M+K}\right)^{r}$
と導出できました。